Question

如图所示，过点M（m，1）作直线AB交抛物线x²=y于A，B两点，且|AM|=|MB|，过M作x轴的垂线交抛物线于点C．连接AC，BC，记三角形ABC的面积为S_△，记直线AB与抛物线所围成的阴影区域的面积为S_弓．
（1）求m的取值范围；
（2）当S_△最大时，求m的值；
（3）是否存在常数λ，使得

S△

S弓

=λ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设AB直线方程，代入抛物线方程x²=y，利用M是AB的中点，结合根的判别式，即可求m的取值范围；
（2）利用韦达定理，表示出S_△=S_ACM+S_BCM，结合m的范围，即可求得结论；
（3）利用定积分，求出S_弓，结合（2）的结论，即可求得λ的值．

解答：解：（1）由题意，直线AB的斜率存在，设AB直线方程为y=k（x-m）+1
代入抛物线方程x²=y得，x²-kx+mk-1=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
因为M是AB的中点，所以m=

x1+x2

2

=

k

2

，即k=2m
方程（*）即为：x²-2mx+2m²-1=0（**）
由△=4m²-8m²+4＞0得-1＜m＜1
所以m的取值范围是（-1，1）；…4'
（2）因为M（m，1），C（m，m²），MC⊥x轴，所以|MC|=1-m²，
由方程（**）得x1+x2=2m，x1x2=2m2-1
所以S_△=S_ACM+S_BCM=

1

2

|x1-x2| ． |MC|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

 ． |MC|
=

1

2

4-4m2

 ． (1-m2)=(1-m2)

3

2

≤1
所以当S_△最大时，m=0；…8'
（3）常数λ存在且λ=

3

4

不妨设x₁＜x₂
S弓=

∫

x2 x1

[k(x-m)+1-x2]dx=

∫

x2 x1

[2mx+1-2m2-x2]dx=[mx2+(1-2m2)x-

1

3

x3]

|

x2 x1

=m(

x

2 2

-

x

2 1

)+(1-2m2)(x2-x1)-

1

3

(

x

3 2

-

x

3 1

)=(x2-x1)[m(

x

2

+

x

1

)+(1-2m2)-

1

3

(

x

2 2

+x2x1+

x

2 1

)]=(x2-x1)[m(

x

2

+

x

1

)+(1-2m2)-

1

3

((

x

2

+x1)2-x2x1)]
由方程（**）得x1+x2=2m，x1x2=2m2-1，
代入上式化简得S弓=

4-4m2

 ． 

2

3

(1-m2)=

4

3

(1-m2)

3

2

由（2）知S_△=(1-m2)

3

2

，所以

S△

S弓

=

(1-m2) 3 2

4 3 (1-m2) 3 2

=

3

4

所以常数λ存在且λ=

3

4

…13'

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查定积分知识，考查学生的综合能力，属于中档题．