题目内容

如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=3，AB=AA₁=4，M是A₁B₁的中点．
（1）求BM与平面ACD₁所成的角；
（2）求点M到平面ACD₁的距离．

解（1）按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D（0，0，0）、A（3，0，0）、B（3，4，0），C（0，4，0），A₁（3，0，4），B₁（3，4，4），D₁（0，0，4），M（3，2，4），进一步有 $\text{[math]}$ ．
设平面ACD₁的法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．取z=3，得x=4，y=3．
所以平面ACD₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ．
记 $\text{[math]}$ ，
于是， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以，直线BM与平面ACD₁所成角为 $\text{[math]}$ ．
（2）记点M到平面ACD₁的距离为d．
由（1）知，平面ACD₁的一个法向量为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
于是， $\text{[math]}$ ．
所以点M到平面ACD₁的距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再求出向量 $\text{[math]}$ 的坐标和平面ACD₁的法向量 $\text{[math]}$ ，最后求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值，取绝对值后即为线面角的正弦值
（2）由（1）知平面ACD₁的法向量 $\text{[math]}$ ，再求向量 $\text{[math]}$ 的坐标，最后求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影的长度即为M到平面ACD₁的距离
点评：本题考查了利用空间向量解决立体几何问题的方法和思路，解题时要学会熟练的求平面的法向量，并体会空间线面角、面面角是怎样转化为线线角的．