Question

如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点O，连AO，以O为原点建立空间直角坐标系，分别求出异面直线AB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）设

CF

=λ

CA

，根据BF⊥面ACD，则BF⊥CA，BF⊥AD，我们分别求出BF，CA，AD对应向量的坐标，结合向量垂直数量积为0，可以构造关于λ的方程，解方程求出满足条件的λ值，进而即可求出CF的长度；

解答：解：（1）取BD的中点O，连AO，则AO⊥面CBD．
以O为原点建立空间直角坐标系，如图．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2

3

，0），D（-1，0，0）．

AB

=(1，0，-1)，

CD

=(-2，-2

3

，0)，cos＜

AB

，

CD

＞=-

2

4

．
所以所求异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2

4

；                       （5分）
（2）设

CF

=λ

CA

，
则

BF

=

BC

+

CF

=(-λ，2

3

(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：

BF • CA =2λ-12(1-λ)=0 BF • AD =λ-λ=0

解得λ=

6

7

，
|

CF

|=

6

7

|

CA

|=

6

7

14

，（5分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，其中建立空间直角坐标系，将空间中直线与直线的夹角问题，直线与直线的垂直问题转化为向量问题是解答本题的关键．