题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2-2S_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n= $数学公式$ •a_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n；
（3）是否存在自然数m使得 $数学公式$ ＜T_n $数学公式$ 对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解：（1）由a_n=2-2S_n，令n=1，则a₁=2-2S₁，又S₁=a₁，所以a₁= $\text{[math]}$
当n≥2时，由a_n=2-2S_n，可得a_n-a_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以{a_n}是以a₁= $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，于是a_n=2• $\text{[math]}$ ；
（2）b_n= $\text{[math]}$ •a_n= $\text{[math]}$ ，∴T_n= $\text{[math]}$ +2• $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ T_n=1• $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$
（3）T_n+1-T_n=b_n+1= $\text{[math]}$ ＞0，∴{T_n}单调递增，∴T_n≥T₁=c₁= $\text{[math]}$
∵T_n= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤T_n＜ $\text{[math]}$
使得 $\text{[math]}$ ＜T_n $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*恒成立，则 $\text{[math]}$
∴3≤m＜ $\text{[math]}$
∵m是自然数，
∴m=3．
分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等比数列，从而可求通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列的和；
（3）先确定 $\text{[math]}$ ≤T_n＜ $\text{[math]}$ ，再根据 $\text{[math]}$ ＜T_n $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，求得数列的通项与和是关键．