Question

平面直角坐标系中，已知直线l：x=4，定点F（1，0），动点P（x，y）到直线l的距离是到定点F的距离的2倍．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若M为轨迹C上的点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，若过点E（-1，0）可作圆M的两条切线EA，EB（A，B为切点），求四边形EAMB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设点P到l的距离为d，依题意得|x-4|=2

(x-1)2+y2

，由此能得到轨迹C的方程．
（2）设M（x₀，y₀），圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，由两切线存在可知，点E在圆M外，所以x₀＞0，又M（x₀，y₀）为轨迹C上的点，所以0＜x₀≤2．由|MF|=

d

2

=

1

2

|x0-4|，知1≤r＜2．由E（-1，0）为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，|ME|+|MF|=4，所以在直角三角形MEB中，|EB|=

(4-r)2-r2

=2

4-2r

，S△MEB=

1

2

|EB|•|MB|=r

4-2r

，由圆的性质知，四边形EAMB面积S=2S△MEB=2r

4-2r

，由此能求出四边形EAMB面积的最大值．

解答：解：（1）设点P到l的距离为d，依题意得d=2|PF|，
即|x-4|=2

(x-1)2+y2

，…（2分）
整理得，轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．         …（5分）
（2）设M（x₀，y₀），圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，其中r=|MF|=

(x0-1)2+ y 2 0

由两切线存在可知，点E在圆M外，
所以，

(-1-x0)2+(0-y0)2

＞

(x0-1)2+ y 2 0

，即x₀＞0，
又M（x₀，y₀）为轨迹C上的点，所以0＜x₀≤2．
而|MF|=

d

2

=

1

2

|x0-4|，所以，1≤|MF|＜2，即1≤r＜2． …（8分）
由（1）知，E（-1，0）为椭圆的左焦点，
根据椭圆定义知，|ME|+|MF|=4，
所以|ME|=4-r，而|MB|=|MF|=r，
所以，在直角三角形MEB中，|EB|=

(4-r)2-r2

=2

4-2r

，S△MEB=

1

2

|EB|•|MB|=r

4-2r

，
由圆的性质知，四边形EAMB面积S=2S△MEB=2r

4-2r

，其中1≤r＜2．…（12分）
即S=2

-2r3+4r2

（1≤r＜2）．
令y=-2r³+4r²（1≤r＜2），则y'=-6r²+8r=-2r（3r-4），
当1＜r＜

4

3

时，y'＞0，y=-2r³+4r²单调递增；
当

4

3

＜r＜2时，y'＜0，y=-2r³+4r²单调递减．
所以，在r=

4

3

时，y取极大值，也是最大值，
此时S_max=2

-2( 4 3 )3+4( 4 3 )2

=

16

9

3

．            …（16分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法和求四边形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行待价转化．