Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值．(2)求点D到平面PAB的距离．

Answer 1

解　如图取DC的中点O，连结PO，

∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC

又∵面PDC⊥面ABCD

∴PO⊥面ABCD

∴以O为坐标原点OC、OP所在直线为y轴，z轴建立如图所示直角坐标系，

则P(0,0，a)，A(a，,0)，B(a，,0)，C(0，,0)，

D(0，,0)．

(1)∵E为PC的中点，∴E(0，，)

∴＝(0，a，a)，＝(a，－，－a)，

·＝a×(－)＋a×(－a)＝－a²，

||＝a，||＝a，

cos〈，〉＝,

∴异面直线PA与DE所成角的余弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(2)由(1)知＝(a，－，－a)，

＝(0，a,0)，

＝(0，a,0)，

设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

n⊥，n⊥＝(0，a,0)，

∴n·＝xa－y－az＝0①

n·＝ya＝0②

由②得y＝0，代入①得xa－az＝0

令x＝，则z＝2，∴n＝(，0,2)．

则D到平面PAB的距离d等于?在 n 上射影的绝对值.

＝＝a，

即点D到平面PAB的距离等于a. 。。。。。。。。。12分