Question

已知函数f(x)=(x²+bx+c)e^x,其中b,c∈R为常数.

(1)若b²＞4(c-1),讨论函数f(x)的单调性;

(2)若b²≤4(c-1),且=4,试证:-6≤b≤2.

Answer 1

(1)解:求导得f′(x)=［x²+(b+2)x+b+c］e^x.

因b²＞4(c-1),故方程f′(x)=0,即x²+(b+2)x+b+c=0有两根;

x₁=＜x₂=.

令f′(x)＞0,解得x＜x₁或x＞x₂;

又令f′(x)＜0,解得x₁＜x＜x₂.

故当x∈(-∞,x₁)时,f(x)是增函数;

当x∈(x₂,+∞)时,f(x)也是增函数;

但当x∈(x₁,x₂)时,f(x)是减函数.

(2)证明:易知f(0)=c,f′(0)=b+c,因此

=f′(0)=b+c.

所以由已知条件得

因此b²+4b-12≤0.

解得-6≤b≤2.