Question

有四个数a₁、a₂、a₃、a₄，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a₁+a₄，a₂+a₃是方程x²-21x+108=0的两根，a₁+a₄＞a₂+a₃，求这四个数．

Answer 1

分析：首先通过解方程求出a₁+a₄，a₂+a₃的值，再结合等差数列和等比数列的性质得到2a₂=a₁+a₃，a₃²=a₂a₄，消元解方程即可．

解答：解：∵a₁+a₄，a₂+a₃是方程x²-21x+108=0的两根，a₁+a₄＞a₂+a₃，
∴解得a₁+a₄=12，a₂+a₃=9，
又∵2a₂=a₁+a₃，a₃²=a₂a₄，
∴a₃=9-a₂，a₁=3a₂-9，a₄=21-3a₂；
∴（9-a₂）=a₂（21-3a₂），
解得a₂=3或a₂=

27

4

，
当a₂=3时，a₁=0，a₃=6，a₄=12；
a₂=

27

4

时，a₁=

45

4

，a₃=

9

4

，a₄=

3

4

．
满足a₁+a₄＞a₂+a₃；
∴四数分别为0，3，6，12．或

45

4

，

27

4

，

9

4

，

3

4

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的性质与方程的综合应用问题，对学生的运算能力要求较高．