Question

已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(

1

3

)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，在证明时只需要找到f（-x）与f（x）的关系即可，本题中要充分利用特值的思想寻找此关系，进而问题即可获得解答；
（2）解答时首先要对抽象不等式结合奇偶性进行化简，化为f（1-m）＜f（2m-1）的形式，然后分析函数的单调性结合单调性同时注意到定义域即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由题意可知：令x=y=0，则
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函数f（x）为奇函数，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函数为单调函数，且f(

1

3

)=

log

3 2

＞f（0）=0，∴函数在[-1，1]上为增函数，
所以

-1≤1-m≤1 -1≤2m-1≤1 1-m＜2m-1

，
解得：

2

3

＜m≤1
∴m的取值范围为：

2

3

＜m≤1．

点评：本题考查的是抽象函数问题，在解答的过程当中充分体现了函数奇偶性的知识、函数单调性的知识以及解不等式的方法．值得同学们体会和反思．