Question

 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.

(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．（注意：BC与AD未必平行）

Answer 1

解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，

AB⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB.

又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

所以AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.。。。。。。。。（4分）

(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)．

在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.

在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.

设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．

由AB＋AD＝4得AD＝4－t，

所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，

＝(0,4－t，－t)．

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由n⊥，n⊥，得

取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)．。。。。。。。。。。。（8分）

又＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得

cos60°＝||，即＝，

解得t＝或t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)，所以AB＝.．。。。。。。。。。。。（12分）