题目内容

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，且椭圆C过点A(2，
3
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B为椭圆C的下顶点，直线y=-x与椭圆相交于P，Q，求△BPQ的面积S．
分析：（1）由题意可得：
3
a=2c，并且有
4
a2
+
3
b2
=1．结合a2=b2+c2可得：a2=16，b2=4．
（2）根据题意求出两点的坐标，再根据三角形的特征，把其面积化为同底的两个三角形的面积之和，即可得到△BPQ的面积S．
解答：解：（1）因为椭圆的离心率为
3
2
，
所以
3
a=2c．
又因为椭圆C过点A(2，
3
)，
所以
4
a2
+
3
b2
=1．
由以上结合a2=b2+c2可得：a2=16，b2=4．
所以椭圆的方程为：
x2
16
+
y2
4
=1．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程：
x2
16
+
y2
4
=1
y=-x
，解得P（
4
5
5
，-
4
5
5
），Q（-
4
5
5
，
4
5
5
），
因为点B为椭圆C的下顶点，
所以△BPQ的面积S=
1
2
×b×|x1-x2|=
8
5
5
．
所以△BPQ的面积S为
8
5
5
．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程，以及椭圆与直线的位置关系．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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