题目内容

已知函数f(x)=x+
m
x
，x∈(0，+∞)，若不等式f（x）＜4的解集是空集，则（　　）
分析：不等式f（x）＜4，即x+
m
x
＜4，因为x＞0，所以不等式可以转化为二次不等式恒成立问题，根据二次不等式所对应的二次函数的开口一定，对称轴一定，结合“三个二次”的关系列出关于m的不等式（组）进行求解．
解答：解：当x∈（0，+∞）时，要使不等式f（x）＜4的解集是空集，即x+
m
x
＜4的解集为空集，
因为x∈（0，+∞），所以x2-4x+m＜0的解集为空集，
令f（x）=x2-4x+m，二次函数开口向上，对称轴方程为x=2，
所以要使不等式x2-4x+m＜0的解集为空集，只需f（2）≥0，即22-4×2+m≥0，所以m≥4．
故选A．
点评：本题考查了含有参数的不等式的解集问题，考查了数学转化思想，同时考查了运用“三个二次”解决不等式恒成立的数学方法，解答的关键是能够根据在x∈（0，+∞）时不等式x2-4x+m＜0的解集为空集列含有m的关系式．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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