Question

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），数列{b_n}对任何n∈N^*都有b_n=a_n+1-

1

2

a_n
（1）求证{b_n}为等比数列；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求

lim

n→∞

S_n．

Answer 1

证明：（1）bn+1=an+2-

1

2

an+1=

1

3

an+1+(

1

2

)n+2-

1

2

[

1

3

an+(

1

2

)n+1]=

1

3

（an+1-

1

2

an）=

1

3

b_n
若b_n=0，则an+1=

1

2

an，可得出

1

2

an=

1

3

an+(

1

2

)n+1，解得a_n=3×(

1

2

)n
∴a₁=

3

2

，不满足条件，故

bn+1

bn

=

1

3

，即数列{b_n}是等比数列；
（2）b1=a2-

1

2

a1=

1

3

a1+(

1

2

)2-

1

2

a1=

1

9

，∴bn=(

1

3

)n+1
（3）an+1-

1

2

an=bn=(

1

3

)n+1，又an+1=

1

3

an+(

1

2

)n+1
∴

1

3

an+(

1

2

)n+1-

1

2

an=(

1

3

)n+1，∴a_n=3×(

1

2

)n-2×(

1

3

)n
S_n=3[

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+(

1

2

)n]-

1

2

[

1

3

+

1

9

+

1

27

+…+(

1

3

)n]
=3×

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-2×

1 3 ×[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=(

1

3

)n-3×(

1

2

)n+2
∴

lim

n→∞

S_n=2