Question

若点P在函数y=e^2x的图象上，点Q在函数y=

1

2

lnx的图象上，则P、Q两点间的最短距离为

 

．

Answer 1

分析：根据函数y=e^2x与函数y=

1

2

lnx互为反函数，可知P、Q两点间的最短距离为点P到直线y=x的最短距离d的2倍，利用导数求出d即可．

解答：解：∵函数y=e^2x与函数y=

1

2

lnx互为反函数，
∴函数y=e^2x与函数y=

1

2

lnx的图象关于直线y=x对称，
∴P、Q两点间的最短距离是点P到直线y=x的最短距离的2倍，
设曲线y=e^2x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=2e^2x，由2e^2x=1得x=

1

2

ln

1

2

，
即切点为（

1

2

ln

1

2

，

1

2

），
∴b=

1

2

ln

1

2

-

1

2

，
∴d=

| 1 2 ln 1 2 - 1 2 |

2

=

|1+ln2|

2 2

，
∴P、Q两点间的最短距离为2d=

1+ln2

2

，
故答案为：

1+ln2

2

．

点评：本题考查反函数的概念，导数的几何意义，点到直线的距离公式等式知识的灵活应用，属于难题．