Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁、ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC的中点，
(1)求证：A₁B∥平面ADC₁；
(2)求证：C₁A⊥B₁C。

Answer 1

证明：(1)如图，连接A1C，设A1C交AC1于点O，连接OD， 因为四边形ACC1A1为正方形，所以O为A1C的中点， 又D为BC的中点， 所以OD为△A1BC的中位线， 所以A1B∥OD， 因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1。
(2)由(1)可知，C1A⊥CA1， 因为侧面ABB1A1是正方形，AB⊥AA1，且∠BAC=90°， 所以AB⊥平面ACC1A1， 又AB∥A1B1， 所以A1B1⊥平面ACC1A1， 又因为C1A平面ACC1A1，所以A1B1⊥C1A， 所以C1A⊥平面A1B1C， 又B1C平面A1B1C， 所以C1A⊥B1C。