题目内容
如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=
，BD=2
，求直线BM与平面PAC所成的角．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=
| 2 |
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（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连接OM．
因为ABCD是菱形，则O为AC中点．
又M为PA的中点，所以OM∥PC．
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．
（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因为PA=AC=
，则PC=2．
又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO=
PC=1．
又BO=
BD=
，在Rt△BOM中，
tan∠BMO=
=
，所以∠BMO=60°．
故直线BM与平面PAC所成的角是60°．
因为ABCD是菱形，则O为AC中点．
又M为PA的中点，所以OM∥PC．
因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM．
（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因为PA=AC=
| 2 |
又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO=
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又BO=
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tan∠BMO=
| BO |
| MO |
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故直线BM与平面PAC所成的角是60°．
练习册系列答案
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