Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=2+

3

an

，a₁=2，b_n=

an-k

an+1

，且数列{b_n}为公比不为1的等比数列．
（1）求k的值；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=

lg|bn|

-lg3

，求证：mln2≤

2m-1

n=1

1

n

≤m（m、n∈N^*）．

Answer 1

分析：第1问根据等比数列的定义及给出的两个关系式求出k的值．第2问对于{nb_n}等差数列乘以等比数列构成的数列求和采用错位相减法．第3问先根据b_n求出c_n，然后分左右两边的不等式分别证明，左边不等式需构造函数，利用函数的单调性得出最值．然后给n依次取1，2，3，…，2^m-1时成立的式子累加可达到证明的目的；右边不等式用数列的单调性，即后项减前项的结果正或负判断增还是减，从而利用单调性达到证明的目的．

解答：解：（1）设{a_n} 的公比为q≠1，即

bn+1

bn

=q，又bn=

an-k

an+1

，an+1=2+

3

an

∴

(2-k)an+3

3(an+1)

×

an+1

an-k

=q是关于n∈N^*的恒等式．
∴（2-k）a_n+3=3qa_n-3qk是关于n∈N^*的恒等式．
∴

3=-3qk 2-k=3q

又q≠1，∴k=3…4分
（2）由（1）知b1=

a1-3

a1+1

=

2-3

2+1

=-

1

3

，q= -

1

3

∴bn=(-

1

3

)n…5分
∴nbn=n(-

1

3

)n
Tn=-

1

3

+2×(-

1

3

)2+…+n×(-

1

3

)n…①
-

1

3

Tn=(-

1

3

 )2+2×(-

1

3

)3+…+n×(-

1

3

)n+1…②
①-②得：

4

3

Tn=(-

1

3

)1+(-

1

3

)2+…+(-

1

3

)n-n(-

1

3

)n+1
=

- 1 3 [1-(- 1 3 )n ]

1+ 1 3

-n(-

1

3

)n+1
=

1

4

(-

1

3

)n -n(-

1

3

)n+1-

1

4

∴Tn=

3

16

(-

1

3

)n-

3

4

n(-

1

3

)n+1-

3

16

…7分
（3）由题意c_n=n，即证mln2≤

2m-1

n=1

1

n

≤m
  先证mln2≤

2m-1

n=1

1

n

令 f（x）=ln（x+1）-x，则f′(x)=

-x

1+x

当x∈（-1，0）时，-x＞0，1+x＞0，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，-∞）时，-x＜0，1+x＞0，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，-∞）上单调递减．
∴f（x）_max=f（0）=0
∴f（x）≤0，即ln（x+1）≤x…8分
令x=

1

n

，则ln(

1

n

+1)≤

1

n

，即ln

n+1

n

≤

1

n

∴ln2≤1
ln

3

2

≤

1

2

ln

4

3

≤

1

3

…
ln

2m

2m-1

≤

1

2m-1

相加得：ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

2m

2m-1

)≤

2m-1

n=1

1

n

…10分
即mln2≤

2m-1

n=1

1

n

再证：

2m-1

n=1

1

n

≤m
令h(m)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2m-1

-m
则h(m-1)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2m-1-1

-(m-1)
∴h(m)-h(m-1)=

1

2m-1

+

1

2m-1+1

+…+

1

2m-1

-1＜0…12分
∴h（m）单调递减．
∵h（1）=1-1=0∴h（m）≤h（1）=0
即

2m-1

n=1

1

n

≤m…13分
综上得：mln2≤

2m-1

n=1

1

n

≤m…14分

点评：本题的第1问主要考查了等比数列的定义．第2问主要考查了错位相减法关键在于：“什么时候用？怎么用？”．第3问考查了不等式的证明，证明中构造了函数，难点在于怎样构造，构造什么样的函数．所以总体来说第3问比较难．