题目内容

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是

A.
$数学公式$
B.
1
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：先根据正弦定理把边化成角的正弦代入题设，化简可得SinAcosC=0．因A为三角形内角排除sinA=0，进而可知cosC=0，即C=90°，即sinB=cosA，代入sinA+sinB，通过两角和公式化简成 $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）进而得出答案．
解答：∵2acosC+ccosA=b
∴根据正弦定理SinAcosC+sinAcosC+sinCcosA=sinB
∴SinAcosC+sin（A+C）=sinB
∴SinAcosC=0
∵A，B，C为三角形内角，
∴sinA≠0，
∴cosC=0
∴C=90°
∴sinB=cosA
∴sinA+sinB=sinA+cosA= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sinA+ $\text{[math]}$ cosA）= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$
∴sinA+sinB的最大值是） $\text{[math]}$
故答案选C．
点评：本题主要考查正弦定理和三角函数中两角和公式的应用．解决本题的关键是通过正弦定理完成边角互化．

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