Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若|

BA

-

BC

|=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的大小；
（Ⅱ）利用平面向量的运算法则化简已知等式求出b的值，利用余弦定理列出关系式，将b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（I）根据正弦定理化简（2a-c）cosB=bcosC，得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
∴2sinAcosB=sin（C+B），即2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

，
又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（II）∵|

BA

-

BC

|=2，
∴|

CA

|=2，即b=2，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，有4=a²+c²-ac，
∵a²+c²≥2ac（当且仅当a=c=2时取“=”号），
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
则当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．