Question

已知函数f(x)=ax3+

b

x2-a2x(a＞0)，存在实数x₁，x₂满足下列条件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2
（1）证明：0＜a≤3；（2）求b的取值范围；
（3）若函数h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2时|h（x₁）|≤12a．

Answer 1

分析：（1）由已知条件②可知，方程f′（x）=0有两个根，则

x1+x2≤0 x1•x2＜0

，又x₁＜x₂，可知x₁＜0，x₂＞0，
再由|x₁|+|x₂|=2可得，x₁≤-1，0＜x₂≤1，所以x₁•x₂≥-1，
即-

a

3

≥-1，解得0＜a≤3，从而命题得证．
（2）由（1）知x₂-x₁=2，于是（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁•x₂=

4b

9a2

+

4a

3

=4，整理得b=9a²-3a³，a∈（0，3]，利用导数可求得-81≤b≤12，由已知可知b≥0，故0≤b≤12．
（3）∵h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），∴h（x₁）=f′（x₁）=3ax₁²+2

b

x₁-a²，由（1）知x1=-1-

b

3a

代入h（x₁）表达式
，即h（x₁）=-a²+3a-

b

3a

，由（2）知b=9a²-6a³，于是h（x₁）=a²且0＜a≤3，所以0＜a²≤12a恒成立．故|h（x₁）|≤12a得证．

解答：（1）证明：由已知条件②可知，方程f′（x）=3ax2+2

b

x -a2=0 ，(a＞0)有两个根，由韦达定理得，

x1+x2=- 2 b 3a ≤0 x1•x2=- a 3 ＜0

又x₁＜x₂，可知x₁＜0，x₂＞0，再由|x₁|+|x₂|=2可得，x₁≤-1，0＜x₂≤1，所以x₁•x₂≥-1，
即-

a

3

≥-1，解得0＜a≤3，从而命题得证．
（2）解：由（1）知x₂-x₁=2，于是（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁•x₂=

4b

9a2

+

4a

3

=4，整理得b=9a²-3a³，a∈（0，3]，
∵b′（a）=18a-9a²，a∈（0，3]，令b′（a）=18a-9a²=0，解得a=0或a=2，又b（0）=0，b（2）=12，b（3）=-81
∴-81≤b≤12，由已知可知b≥0，故0≤b≤12．
（3）证明：∵h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），∴h（x₁）=f′（x₁）=3ax₁²+2

b

x₁-a²，由（1）知x1=-1-

b

3a

代入h（x₁）表达式，即h（x₁）=-a²+3a-

b

3a

，由（2）知b=9a²-6a³，于是h（x₁）=a²且0＜a≤3，所以0＜a²≤9，即0＜a²≤12恒成立．
故当x₁＜x＜2时|h（x₁）|≤12a，命题得证．

点评：主要考查利用导数求解参数的取值范围，属于基础题．