Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a2-c2=b2-

8bc

5

，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）求角A的正弦值；
（2）求边b、c；
（3）求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把已知的条件a2-c2=b2-

8bc

5

变形后，利用余弦定理得到cosA的值，然后根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值；
（2）根据三角形的面积公式及a2-c2=b2-

8bc

5

，a=3，联立即可求出b与c的值；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．

解答：解：（1）由a2-c2=b2-

8bc

5

变形得

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，利用余弦定理得cosA=

4

5

因为A∈（0，π），所以sinA=

1-cos2A

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

；
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

5

=6，∴bc=20
由

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

及bc=20与a=3
解得b=4，c=5或b=5，c=4；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，
则S△ABC=

1

2

(3x+4y+5z)=6
d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)又x、y满足

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

由d=

12

5

+

1

5

（2x+y）得到y=-2x+5d-12，画出不等式表示的平面区域得：y=-2x+5d-12是斜率为-2的一组平行线，
当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=

12

5

；
当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4，0）代入即可求得d=4，
所以满足题意d的范围为：

12

5

＜d＜4

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．