Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a_t=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和，求T₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（I）可通过题设中的条件进行转化，变为可以利用等比数列的定义建立方程求参数t的形式，
（II）求解本题需先研究b_n的通项公式，由于

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

，故可以采取裂项求和的方式求T₂₀₁₁的值．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）（1分）
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，（4分）
所以当n≥2时，{a_n}是等比数列，
要使n≥1时，{a_n}是等比数列，则只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，从而t=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=n，（9分）
∴

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
T2011=

1

b1b2

+…+

1

b2011b2012

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2011

-

1

2012

)=

2011

2012

（12分）

点评：本题考点是等差数列的性质，考查利用等比数列的定义建立方程求参数的值以及根据数列的通项公式选择数列求和的方法，本题求和选择了裂项求和的技巧，做完本题要记得探究一下裂项求和这一技巧适用的范围，你能根据本题总结出来这一规律吗？