Question

（2009•孝感模拟）已知数列{a_n}中，a1=b＞1，an+1=an-

1

an

(n∈N*)，则函数f（b）=b（a₃-5b）的最大值是（　　）

• A．10
• B．-10
• C．

  1

  20

  a

  2 3

• D．20

Answer 1

分析：f(b)=b[

b4-3b 2+1

b(b2-1)

-5b]=

b4-3b2+1

b2-1

-5b2=-

4b4-2b2-1

b2-1

=-

4(b2-1)2+6(b2-1)+1

b2-1

=-[4（b²-1）+

1

b2-1

+6]，由此能求出函数f（b）=b（a₃-5b）的最大值．

解答：解：由题设知，f(b)=b[

b4-3b 2+1

b(b2-1)

-5b]
=

b4-3b2+1

b2-1

-5b2
=-

4b4-2b2-1

b2-1

=-

4(b2-1)2+6(b2-1)+1

b2-1

=-[4（b²-1）+

1

b2-1

+6]
∵b＞1，
∴b²-1＞0，
∴4(b2-1)+

1

b2-1

+6≥2

4(b2-1)• 1 b2-1

+6=10，
∴f(b)=-[4(b2-1)+

1

b2-1

+6]≤-10，
所以f（b）_max=-10．
故选B．

点评：本题考查函数与数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．