Question

已知函数f(x)=

2

cos(2x-

π

4

)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

8

，

π

2

]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）由余弦函数的周期公式T=

2π

|ω|

即可求得答案；
（2）x∈[-

π

8

，

π

2

]⇒2x-

π

2

∈[-

3π

4

，

π

2

]，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．

解答：解：（1）f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π…3分
当2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，即kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z时，f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递减区间是[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z…6分
（2）∵x∈[-

π

8

，

π

2

]，则2x-

π

2

∈[-

3π

4

，

π

2

]，
故cos（2x-

π

2

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）_max=

2

，此时2x-

π

2

=0，即x=

π

4

；
f（x）_min=-1，此时2x-

π

2

=-

3π

4

，即x=-

π

8

…13分

点评：本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的周期公式及单调性与最值的应用，属于中档题．