题目内容

精英家教网如图，椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．
（1）若
AB
=λ
BC
，求实数λ的值；
（2）设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．
分析：（1）由已知条件可得F(-1，0)，A(0，
3
)，kAF=
3
．利用两直线垂直的关系可求直线AB的方程，及C的坐标，联立直线AB与椭圆的方程可求B，利用向量的坐标表示可求 λ的值
（2）由已知可得△ACF的外接圆的圆心为D（1，0），半径为2．从而可得圆D的方程为（x-1）2+y2=4．AB为定值，要求△PAB的面积最大时，转化为求点P到直线AC的距离最大．利用圆的知识求解即可
解答：精英家教网解：（1）由条件得F(-1，0)，A(0，
3
)，kAF=
3
．
因为AB⊥AF，
所以kAB=-
3
3
，AB：y=-
3
3
x+
3
．
令y=0，得x=3，
所以点C的坐标为（3，0）．
由
y=-
3
3
x+
3
x2
4
+
y2
3
=1
得13x2-24x=0，解得x1=0（舍）x2=
24
13
．
所以点B的坐标为(
24
13
，
5
3
13
)．
因为
AB
=λ
BC
，所以λ＞0，且λ=
|
AB
|
|
BC
|
=
24
13
3-
24
13
=
8
5
．
（2）因为△ACF是直角三角形，
所以△ACF的外接圆的圆心为D（1，0），半径为2．
所以圆D的方程为（x-1）2+y2=4．
因为AB为定值，
所以当△PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大．
过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点．
直线m：y=
3
(x-1)与（x-1）2+y2=4联立得x=2（舍）或x=0，
所以点P的坐标为（0，-
3
）
点评：本题主要考查了椭圆的基本概念，直线垂直关系的应用，向量共线的坐标表示，直线与椭圆的相交关系，及圆的知识的综合应用，试题的运算较多，考查了运算的能力．
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精英家教网如图，直线y=kx+b与椭圆
x24
+y2=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．
精英家教网定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若椭圆C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆Mλ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）
精英家教网[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是
 
．
[文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是
 
．
（2012•杨浦区二模）如图，椭圆C1：
x2
4
+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（1）求实数b的值；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交与D、E．
①证明：MD•ME=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若
S1
S2
=λ，求λ的取值范围．
如图，已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上两定点P(-2，0)，Q(1，
3
2
)，直线l：y=-
1
2
x+m与椭圆相交于A，B两点（异于P，Q两点）
（1）求证：kPA+kQB为定值；
（2）当m∈（-1，2）时，求A、P、B、Q四点围成的四边形面积的最大值．

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