已知函数f(x)＝x2-1-2alnx(a≠0)．求函数f(x)的极值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)＝x²－1－2alnx(a≠0)．求函数f(x)的极值．

解析　因为f(x)＝x²－1－2alnx(x>0)，

所以f′(x)＝2x－＝.

当a<0时，

因为x>0，且x²－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值；

当a>0时，

令f′(x)＝0，解得x₁＝，x₂＝－(舍去)．

所以当x>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f(a)＝()²－1－2aln＝a－1－alna.

综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．

当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－alna.

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已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求实数m的值；

(2)作出函数f(x)的图像；

(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；

(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；

(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

已知函数f(x)＝log_a(x＋1)，g(x)＝2log_a(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；

已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

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