Question

已知数列{a_n}中a₁=1，a₂=2，数列{a_n}的前n项和为S_n，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，则数列{

1

anan+1

}的前n项和为

3n-1

4n

．

Answer 1

分析：首先要由前n项和的关系式得到数列的递推公式，进而得到数列的通项公式，再由数列求和的裂项法即可得到正确结论．

解答：解：由于a₁=1，a₂=2，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，
所以S₁=a₁=1，S₂=3，S₃=7，故a₃=4，
由于数列{a_n}中数列{a_n}的前n项和为S_n，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，
则S_n+2+S_n=2（S_n+1+S₁）所以a_n+2+a_n=2a_n+1，则数列{a_n}从第二项起为等差数列，
则数列a_n=

1，n=1 2n-2，n≥2

，所以n＞1时，

1

anan+1

=

1

(2n-2)(2(n+1)-2)

=

1

2n-2

-

1

2(n+1)-2

=

1

2n-2

-

1

2n

，
故数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n=(1-

1

2

)+

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

4

-

1

6

)…+(

1

2n-2

-

1

2n

)]=

1

2

+

1

2

(

1

2

-

1

2n

)=

3n-1

4n

．
故答案为

3n-1

4n

．

点评：本题主要考查数列求和的裂项法．着重考查学生的运算能力．属于基础题．