Question

（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小；

（3）记，数列的前项和为，试证明：

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2），由，，，

当时，

 

；

（3）见解析。

【解析】(1) 依题意确定点的坐标为，从而可得,

所以可得,所以再采用累加的方法求出通项即可.

(2)先求出,然后先求出S₁,S₂,S₃验证均满足小于,

然后证明当n>3时，,采用了不等式放缩后易证.n>3时，.

（3）先确定,可得,

然后可以利用此不等式进行放缩，这是解决此题的突破口.

（1）依题意点的坐标为，，，

．．．．．．2分

；

．．．．．．4分

（2），由，，，

当时，

 

；．．．．．．8分

（3），所以易证：，

当时，，

，（当时取“”）．．．．．．11分

另一方面，当时，有：

，

又，

，．所以

对任意的，都有．．．．．．．14分