Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，（x∈R）
（1）求函数f（x）的对称轴；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦公式降幂，然后进行y=asinθ+bcosθ的化积，由正弦符号后面的角终边落在y轴上求解x的值得答案；
（2）由f（C）=0求解角C，由正弦定理把sinB=2sinA转化为边的关系，再借助于余弦定理列式求解a，b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin(2x-

π

6

)-1．
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，∴x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的对称轴是：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z；
（2）由f（C）=0，得sin(2C-

π

6

)-1=0，则sin(2C-

π

6

)=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

．
∵sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a　　①
由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3　　②
由①②解得a=1，b=2．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了三角函数的倍角公式，训练了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．