Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=

2

，AB=

3

，PA=PD=1．
（I）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-PA-D的大小．

Answer 1

分析：（I）取AD中点E，以AE为x轴，以过E点平行AB的直线为y轴，以EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明PA⊥CD．
（Ⅱ）分别求出平面CPA和平面PAD的法向量，利用向量法能够求出二面角C-PA-D的大小．

解答：解：（I）取AD中点E，以AE为x轴，以过E点平行AB的直线为y轴，以EP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=

2

，AB=

3

，PA=PD=1，
∴∠APD=90°，AE=BE=PE=

2

2

，
∴A（

2

2

，0，0），P（0，0，

2

2

），C（-

2

2

，

3

，0），D（-

2

2

，0，0），
∴

PA

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

CD

=(0，-

3

，0)，
∴

PA

•

CD

=0，∴

PA

⊥

CD

，∴PA⊥CD．
（Ⅱ）∵A（

2

2

，0，0），P（0，0，

2

2

），C（-

2

2

，

3

，0），D（-

2

2

，0，0），
∴

PC

=(-

2

2

，

3

，-

2

2

)，

PA

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

PD

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，
设平面CPA的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

n1

•

PC

=0，

n1

•

PA

=0，
∴

- 2 2 x1+ 3 y1- 2 2 z1=0 2 2 x1- 2 2 z1=0

，
∴

n1

=（1，0，1）．
设平面PAD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，则

n2

•

PA

=0，

n2

•

PD

=0，
∴

2 2 x2- 2 2 z2=0 - 2 2 x2- 2 2 z2=0

，
∴

n2

=（0，1，0），
设二面角C-PA-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

0

2 ×1

|=0，
∴二面角C-PA-D的大小为90°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．