Question

7．中心在原点，焦点在x轴，直线y=x+1与该双曲线所截得的弦长为|PQ|=4，且以PQ为直径的圆过原点，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），利用弦长为|PQ|=4，且以PQ为直径的圆过原点，建立方程，求出m，n，即可求双曲线的方程．

解答 解：设双曲线的方程为mx²-ny²=1（m＞0，n＞0）．
直线y=x+1，代入mx²-ny²=1可得（m-n）x²-2nx-n-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x₁+x₂=$\frac{2n}{m-n}$，x₁x₂=$\frac{-n-1}{m-n}$．
由PQ为直径的圆过原点，可得OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴m-n=2①
由|PQ|=4，得$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（\frac{2n}{m-n}）^{2}-4•\frac{-n-1}{m-n}}$=4②，
∴由①②可得n=$\sqrt{7}$-1，m=$\sqrt{7}$+1．
故所求双曲线方程为（$\sqrt{7}$+1）x²-（$\sqrt{7}$-1）y²=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．