Question

已知函数f（x）=sinx，数列{a_n}满足an=

1

2

，an+1=f(

π

2

an).
（1）求证：当x∈(0，

π

2

)时，不等式

2

π

x＜f(x)＜x恒成立；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：

n

2

≤Sn≤

1

π-2

[(

π

2

)n-1].．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）-x=sinx-x，通过导数说明函数的单调性，说明函数大于极小值，同时利用增函数证明f（x）-x=sinx-x，得到结果．
（2）由（1）0＜a_n＜1，0＜

π

2

an＜

π

2

，利用放大法，求出数列S_n=a₁+a₂++an＜

1

2

+

1

2

•

π

2

+…+

1

2

(

π

2

)2；
S_n≥na1=

n

2

，使得问题得证．

解答：证明：（1）①令g（x）=f（x）-x=sinx-x，
当x∈(0，

π

2

)时，g'（x）=cosx-1＜0∴g（x）在(0，

π

2

)上是减函数，
所以g（x）＜g（0）=0，∴f（x）-x=sinx-x，
恒成立；（2分）
②令h(x)=f(x)-

2

π

x=sinx-

2

π

x，
设h′(x)=cosx-

2

π

的根为x₀，即cosx0=

2

π

．
∵y=cosx在(0，

π

2

)上是减函数，
所以x∈（0，x₀）时，h′(x)=cosx-

2

π

＞0，
h（x）为增函数；x∈(x0，

π

2

)时，h′(x)=cosx-

2

π

＜0，h（x）为减函数；．
∵h(0)=h(

π

2

)=0，∴h（x）＞0恒成立，
即f(x)＞

2

π

x．
综上：当x∈(0，

π

2

)时，不等式

2

π

x＜f(x)＜x恒成立；（6分）
（2）由条件知0＜a_n＜1，0＜

π

2

an＜

π

2

，
由（Ⅰ）得

2

π

•

π

2

an＜an+1=f(

π

2

an)＜

π

2

an，即an＜an+1＜

π

2

an，
由a_n＜a_n+1可知数列{a_n}为递增数列，
所以S_n=a₁+a₂++a_n≥na1=

n

2

．（8分）
由an+1＜

π

2

an得an＜

π

2

an-1＜

π

2

•

π

2

an-2＜…＜(

π

2

)n-1a1=

1

2

(

π

2

)n-1，
∴S_n=a₁+a₂++a_n≤

1

2

+

1

2

•

π

2

+

1

2

(

π

2

)2+…+

1

2

(

π

2

)n-1=

1 2 [1-( π 2 )n]

1- π 2

=

1

π-2

[(

π

2

)n-1]．
综上：

n

2

≤Sn≤

1

π-2

[(

π

2

)n-1]（n∈N₊）成立，
当n=1时，等号成立．（12分）

点评：本题考查数列的求和，利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，考查证明方法放缩法，是有难度的中档题．