题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在______上补充条件，使得椭圆的方程为
x2
3
+y2=1；友情提示：不可以补充形如a=
3
，b=1之类的条件．
（2）命题一：“已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n2-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．
（1）补充一：椭圆的离心率为e=
6
3
，且椭圆的长轴长为2
3

补充二：椭圆过(
3
，0)和(1，
6
3
)
补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为2
3
，且椭圆的一条准线长为
3
2
2

类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）
（2）命题一：已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，定点P（m，n）满足
m2
a2
+
n2
b2
＞1，
以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切．（5分）
命题二：已知双曲线G：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足
m2
a2
-
n2
b2
＜1，
以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切．（9分）
（3）证明：以PF为直径的圆的方程为(x-m)(x-
p
2
)+y(y-n)=0，
设A（0，y1），B（0，y2），
则y1(y1-n)+
1
2
pm=0，
直线PA的方程为y-y1=
n-y1
m
x=
p
2y1
x，即px-2y1y+2y12=0
联立
px-2y1y+2
y21
=0
y2=2px
，
消去x得到y2-4y1y+4y12=0，所以△=0，所以直线PA与抛物线相切．
同理可证PB与抛物线相切．（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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