Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．
（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米
∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

3(x+2)

x

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3(x+2)2

x

由S_AMPN＞32得

3(x+2)2

x

＞32
又x＞0得3x²-20x+12＞0
解得：0＜x＜

2

3

或x＞6
即DN的长取值范围是(0，

2

3

)∪(6，+∞)
（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=

3(x+2)2

x

=

3x2+12x+12

x

=3x+

12

x

+12(x＞0)≥2

3x• 12 x

+12=24
当且仅当3x=

12

x

，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．

点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．