题目内容

21. 已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

21. 根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵i=（1，0），c=（0，a），

∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.

因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y－a=－2λax.

消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a2x2，

整理得=1                                                       ①

因为a＞0，所以得：

（i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（ii）当0＜a＜时，方程①表示椭圆，焦点E（）和F（－）为合乎题意的两个定点；

（iii）当a＞时，方程①也表示椭圆，

焦点E（0，（a+））和F（0，（a－））为合乎题意的两个定点.


练习册系列答案
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已知向量
a
=（1+cosωx，1），
b
=（1，a+
3
sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=
a
•
b
在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移
π
6ω
个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，
π
4
]上为增函数，求ω的最大值．
已知向量
a
=（sinωx+cosωx，sinωx）
b
=（sinωx-cosωx，2
3
cosωx），设函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）的图象关于直线x=
π
3
对称，其中常数ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x）在区间[-
π
2
，
π
2
]的图象．
已知向量
a
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），
b
=（
3
，2cosωx），函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在[-
π
4
，
π
4
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
b
=(
3
，2cosωx)，设函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
已知向量
a
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），
b
=（
3
，2cosωx），函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在[-
π
4
，
π
4
]上的取值范围．

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