Question

如图，在DABC中，D、E、F分别是边BC，CA，AB上的点，且使，求证：DABC和DDEF的重心相同。

 

Answer 1

答案：
解析：

［证法一］  设DABC的重点为G，DDEF的重心为G¢，且设，(lÎR，l>0)，则对于平面内任意一点O，有：， ，因为， 所以，，， 即： 所以，，所以，G与G¢重合。 ［证法二］  设DABC三点的坐标分别为A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，其重心G的坐标为(g1，g2)，设DABC三点的坐标分别为D(d1，d2)，E(e1，e2)，F(f1，f2)，其重心G¢的坐标为(g1¢，g2¢)。 则， ，， 因为，所以，，， 所以，，，，，，。 。 同理，d2+e1+f2=a2+b2+c2 所以，，， 故G与G¢重合。