Question

已知函数f(x)=2(-)(a＞0,且a≠1).

(1)求函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x);

(2)判定f^-1(x)的奇偶性；

(3)解不等式f^-1(x)＞1.

Answer 1

解:(1)化简，得f(x)=

    设y=,则a^x=.

    ∴x=log_a.

    ∴所求反函数为

    y=f^-1(x)=log_a(-1＜x＜1).

    (2)∵f^-1(-x)=log_a=log_a()^-1=-log_a=-f^-1(x),

    ∴f^-1(x)是奇函数.

    (3)log_a＞1.

    当a＞1时，

    原不等式＞a＜0.

    ∴＜x＜1.

    当0＜a＜1时，原不等式

    解得

    ∴-1＜x＜.

    综上，当a＞1时，所求不等式的解集为(,1);

    当0＜a＜1时，所求不等式的解集为(-1，).