Question

20．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则$\frac{a+b}{c}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinC的值进而求得C，利用正弦定理将所求转化为$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）即可求其最大值．

解答 解：∵bcosC+ccosB=csinA，
∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=1，C=$\frac{π}{2}$，
∴利用正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），
∴则$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．