Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F．
（Ⅰ）若倾斜角为

π

3

的直线AB过点F且交抛物线于A，B两点，求弦长|AB|；
（Ⅱ）若过点F的直线交抛物线于A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
（II）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理表示出y₁+y₂，进而根据直线方程求得x₁+x₂，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．

解答：解：（I）由题意可得，抛物线的焦点F（1，0），由直线的斜角为

π

3

可知直线AB的斜率为

3

∴直线AB的方程为y=

3

(x-1)
联立方程

y= 3 (x-1) y2=4x

可得，3x²-10x+3=0
解可得，x₁=3或x2=

1

3

由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+1+x₂+1=

16

3

（II）设过点F的直线AB得方程为x=ky+1，线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程

x=ky+1 y2=4x

可得y²-4ky-4=0
∴y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
由中点坐标公式可得，x=

x1+x2

2

=1+2k²，y=

y1+y2

2

=2k
消去k可得点M的轨迹方程，y²=2（x-1）

点评：本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，注意抛物线的定义的应用，涉及弦的中点的时候，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求．