Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

P

P-1

(an-1)（P为常数，且P≠0，P≠1，n∈N₊），数列{b_n}是等比数列，且bn=

Sn

an

+3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求P的值．

Answer 1

分析：（1）、分别讨论当n=1和n≥2时a_n与P的关系，便可发现数列{a_n}是以P为首相，以P为公比的等比数列，便可求出{a_n}的通项公式；
（2）、根据（1）中求得的{a_n}的通项公式便可求出前n项和S_n的表达式，分别令n=1，n=2和n=3便可求出P的值．

解答：解：（1）n=1时，（P-1）a₁=P（a_n-1），∴a₁=P，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，得

an

an-1

=P，
∴a_n=a₁•q^n-1=qⁿ，
∴{a_n}的通项公式为a_n=Pⁿ…（4分）
（2）n=1时，b1=

S1

a1

+3=

P

P

+3=4
n=2时，b2=

P+P2

P2

+3=

1

P

+4
n=3时，b3=

1

P2

+

1

P

+4…（8分）
∴(

1

P

+4)2=4(

1

P2

+

1

P

+4)∴P=

3

4

…（12分）

点评：本题考查了等差数列通项公式的求法和等比数列性质，考查了学生的运算能力和对函数的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．