Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=7，a₅+a₇=26
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=

1

a 2 n -1

（n∈N^*）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入通项公式和求和公式可得；（2）由（1）可知b_n=

1

a 2 n -1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由裂项相消法可得其和．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则a₃=a₁+2d=7，a₅+a₇=2a₁+10d=26
联立解之可得a₁=3，d=2，
故a_n=3+2（n-1）=2n+1
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（2）由（1）可知b_n=

1

a 2 n -1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
故数列{b_n}的前n项和T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属中档题．