Question

4．已知C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{8}^{3}$（n∈N^*）．
（1）求n的值；
（2）求二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式的一次项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质，求得 ${C}_{n+1}^{3}$=C${\;}_{8}^{3}$，由此可得n的值．
（2）由条件利用二项展开式的通项公式，求得展开式的一次项．

解答 解：（1）∵C${\;}_{2}^{2}$+C${\;}_{3}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{8}^{3}$=${C}_{3}^{3}$+C${\;}_{3}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{n+1}^{3}$=C${\;}_{8}^{3}$，∴n=7．
（2）二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ =（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{x}}$）⁷ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{7}{2}-\frac{5r}{6}}$，
令$\frac{7}{2}$-$\frac{5r}{6}$=1，求得r=3，可得展开式的一次项为 T₄=${C}_{7}^{3}$•（-2）³•x=-280x．

点评 本题主要考查二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．