Question

给出下列四个命题：
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么

a d

＜

b c

；②已知a、b、m都是正数，并且a＜b，则

a+m

b+m

＞

a

b

；③若a、b∈R，则a²+b²+5≥2（2a-b）；④函数f（x）=2-3x-

4

x

的最大值是2-4

3

．其中正确命题的序号是

 

把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：对于①，利用不等式的基本性质变形，可以证出

b c

＜

a d

，故①不正确；对于②，利用作差比较的方法，得到

a+m

b+m

与

b

a

差的式子，再讨论这个差的各个因式的正负，得到

a+m

b+m

-

a

b

＞0，从而得到②正确；对于③，将a²+b²+5与2（2a-b）作差，再将这个差配方得到（a-2）²+（b-1）²，利用平方非负的性质可得到③正确；对于④，首先证明|3x+

4

x

|≥4

3

，从而得出3x+

4

x

≤-4

3

或3x+

4

x

≥4

3

，所以函数f（x）=2-3x-

4

x

的值域为（-∞，2-4

3

]∪[2+4

3

，+∞），函数没有最大值，故④不正确．由此得到正确答案．

解答：解：a＞b＞0，c＞d＞0，
∴0＜

1

c

＜

1

d

且0＜b＜a
所以0＜

b

c

＜

d

a

⇒

b c

＜

a d

，故①不正确；
对于②，

a+m

b+m

-

a

b

=

m(b-a)

b(b+m)

∵b＞0，m＞0，b+m＞0，b-a＞0
∴

a+m

b+m

-

a

b

＞0，故

a+m

b+m

＞

a

b

，②正确；
对于③，∵（a²+b²+5）-2（2a-b）=（a-2）²+（b-1）²≥0，
∴对任意a、b∈R，都有a²+b²+5≥2（2a-b），故③正确；
对于④，∵f（x）=2-3x-

4

x

=2-（3x+

4

x

），
且|3x+

4

x

|≥2

3×4

=4

3

，得3x+

4

x

≤-4

3

或3x+

4

x

≥4

3

，
∴f（x）=2-3x-

4

x

的值域为（-∞，2-4

3

]∪[2+4

3

，+∞），
所以函数没有最大值，故④不正确．
故答案为：②③

点评：本题借助于判断几个不等式的正确与否，和判断函数的最值为载体，着重考查了不等式的基本性质、基本不等式和函数的值域与最值等知识，属于中档题．