题目内容

求直线y=x+被曲线y=x2截得的线段的长.

思路解析：可以求出交点坐标,再利用两点间的距离公式求解;也可以利用弦长公式.

解法一:先求交点A、B,如图

解方程组y=x+消去y,

得x2-2x-3=0.

解得或∴A(-1,)、B(3,).

直线被曲线截得的线段长|AB|==4.

解法二:设交点的坐标A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1=x1+,y2=x2+.

∴y1-y2=x1-x2.由消去y,得x2-2x-3=0.

∴x1+x2=2,x1x2=-3.

弦长:|AB|==

=·=·=4.

深化升华

    解法二中设出了交点坐标,但未求交点坐标,这是应用了“设而不求”的解题技巧,要注意掌握.

    一般地,设直线l的方程:y=kx+b,曲线C的方程:F(x,y)=0,

    直线l与曲线C的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2).

    则y1=kx1+b,y2=kx2+b,∴y1-y2=k(x1-x2).

    由消去y,得ax2+mx+c=0.∴x1+x2=-,x1x2=.

    ∴|AB|==

    ==·.

    这个式子就是求弦长公式,以后在解圆锥曲线有关问题时要经常用到.


练习册系列答案
相关题目
（2012•杨浦区二模）如图，椭圆C1：
x2
4
+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（1）求实数b的值；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交与D、E．
①证明：MD•ME=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若
S1
S2
=λ，求λ的取值范围．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（Ⅰ）选修4-2：矩阵与变换，
已知矩阵A=
01
a0
，矩阵B=
02
b0
，直线l1：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3：x+y+4=0，求直线l2的方程．
（Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程，
求直线
x=-2+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长．
（Ⅲ）选修4-5：不等式选讲，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．
选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=
4cosθ
sin2θ
，直线l的参数方程为
x=tcosα
y=1+tsinα
（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

求直线y＝x＋被曲线y＝x2截得的线段的长．

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