Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角的正切值为多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

Answer 1

思路分析：抛物线的准线我们可以依据抛物线的解析式求得，由此抛物线的准线与抛物线对称轴的焦点可求，所以过该交点的直线可设，由此代入，即可求得结果.

解：抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点为(-1，0)，设直线MN的方程为y=k(x+1)，

由

得k²x²+2(k²-2)x+k²=0，∵直线与抛物线交于M、N两点，

∴Δ=4(k²-2)²-4k⁴＞0，即k²＜|k²-2|，k²＜1，-1＜k＜1；

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，抛物线焦点为F(1，0)，∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，

∴MF⊥NF；∴=-1，即y₁y₂+x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0，

又x₁+x₂=，x₁x₂=1，y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁、y₂同号，

∴=-6.

解得k²=，∴k=.