Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1及点B（0，-2），过点B作直线l与椭圆交于C、D两点．
（1）试确定直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l经过椭圆的左焦点F₁，椭圆的右焦点为F₂，求△CDF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）设出直线l的方程，联立椭圆方程，利用直线和椭圆相交两个点，可得△＞0，由此可求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求出直线l的方程，点F₂（1，0）到l的距离，计算|CD|，即可求得面积．

解答：解：（1）设直线l：y=kx-2，联立椭圆方程，消去y得：（1+2k²）x²-8kx+6=0（*）
由于直线和椭圆相交两个点，故△=8（2k²-3）＞0，得：k＞

6

2

或k＜

6

2

．
（2）直线l经过点B（0，-2）和F₁（-1，0），所以l：2x+y+2=0
点F₂（1，0）到l的距离d=

4

5

联立直线和椭圆方程得：9x²+16x+6=0，
∴|CD|=|x1-x2|

1+k2

=

10

9

2

∴S△=

1

2

|CD|d=

4

9

10

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．