题目内容
函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，则a=（ ）
分析：函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax3-3x+1≥0恒成立，分x=0，0＜x≤1，-1≤x＜0三种情况进行讨论，其中x=0时易知a的范围，另两种情况分离出参数a后转化为函数最值即可解决，而最值可用导数求出．
解答：解：函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]，总有f（x）≥0成立，即ax3-3x+1≥0恒成立，
①当x=0时，显然ax3-3x+1≥0成立，此时a∈R；
②当0＜x≤1时，ax3-3x+1≥0即a≥
，等价于a≥(
)max，
令f（x）=
，则f′（x）=
，
当0＜x＜
时，f′（x）＞0，f（x）递增；当
＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）max=f（
）=
=4，
∴a≥4；
③当-1≤x＜0时，ax3-3x+1≥0即a≤
，等价于a≤(
)min，
此时f（x）=
，f′（x）=
＞0，f（x）递增，
∴f（x）min=f（-1）=
=4，
∴a≤4；
综上所述，a=4．
故选D．
①当x=0时，显然ax3-3x+1≥0成立，此时a∈R；
②当0＜x≤1时，ax3-3x+1≥0即a≥
| 3x-1 |
| x3 |
| 3x-1 |
| x3 |
令f（x）=
| 3x-1 |
| x3 |
| 3-6x |
| x4 |
当0＜x＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）max=f（
| 1 |
| 2 |
| ||
|
∴a≥4；
③当-1≤x＜0时，ax3-3x+1≥0即a≤
| 3x-1 |
| x3 |
| 3x-1 |
| x3 |
此时f（x）=
| 3x-1 |
| x3 |
| 3-6x |
| x4 |
∴f（x）min=f（-1）=
| -3-1 |
| (-1)3 |
∴a≤4；
综上所述，a=4．
故选D．
点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决的能力．
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