Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，且△ABC最短边的长为1，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系可得sinA、cosA、sinB、cosB的值，利用两角和的余弦公式求得cosC，判断最小边b=1，由正弦定理可得a的值，由

1

2

ab•sinC 求得△ABC的面积．

解答：解：由题意并利用同角三角函数的基本关系可得sinA=

5

5

，cosA=

2 5

5

，sinB=

10

10

，cosB=

3 10

10

，
故cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2

2

＜0，故角C为钝角．
再由sinA＞sinB 可得，A＞B，故B是三角形的最小内角，故b=1．
由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴a=

2

，故△ABC的面积为

1

2

ab•sinC=

1

2

×

2

×1×

2

2

=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系、正弦定理、两角和的余弦公式、诱导公式的应用，求出a=

2

，是解题的关键．