Question

设椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使△ABP为等边三角形，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁，则|MM₁|=

1

2

（|AA₁|+|BB₁|）=

1

2

（

|AF|

e

+

|BF|

e

）=

1

2

|AB|，又因为△PAB为等边三角形?|PM|=

3

2

|AB|，所以

|MM1|

|MP|

=

6

3

，cos∠PMM₁=

6

3

，由此能求出AB的方程．

解答：解：如图，∵F（-

2

，0），l：x=-2

2

，离心率e=

2

2

．设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁，则|MM₁|=

1

2

（|AA₁|+|BB₁|）=

1

2

（

|AF|

e

+

|BF|

e

）=

1

2

|AB|，又因为△PAB为等边三角形?|PM|=

3

2

|AB|，所以

|MM1|

|MP|

=

6

3

，


即cos∠PMM₁=

6

3

，
∴sin∠PMM₁=

3

3

，tam∠PMM₁=

2

2

，
又k_PM=±tam∠PMM₁=±

2

2

∵AB⊥PM，∴k_AB=-

1

kPM

=±

2

，
又AB过点F（-

2

，0），所以AB的方程为y=±

2

（x+

2

）．
即直线AB的方程为：

2

x-y+2=0，或

2

x+y+2=0．

点评：本题考查圆锥曲线的基本几何量的求法，如焦点、准线、离心率等．考查直线与圆锥曲线的基本问题的研究方法，如弦长计算、弦中点坐标求法等．考查圆锥曲线的定义的灵活应用．