Question

已知函数f(x)=2acos2x-2

3

asinxcosx+b的定义域为R，且b≤2．又{y|y=f(x)，x∈[0，

π

2

] }=[1，4]．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的对称轴方程；
（3）求函数y=log₂[f（x）-3]的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，结合函数f（x）的定义域为[0，

π

2

]、值域为[1，4]，求得a、b的值．
（2）由（1）可得函数f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3，由2x+

π

3

=kπ，可得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，从而得到函数f（x）的对称轴方程．
（3）由f（x）＞3，求得x的范围，可得函数的定义域．根据复合函数的单调性，本题即求函数f（x）在定义域内的单调增区间，结合余弦函数的图象可得，
f（x）在定义域内的单调增区间．

解答：解：（1）函数f(x)=2acos2x-2

3

asinxcosx+b=acos2x+a-

3

asin2x+b=2acos（2x+

π

3

）+b+a，
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，∴-1≤cos2x≤

1

2

．
当a＞0时，-a+b≤f（x）≤2a+b，又{y|y=f(x)，x∈[0，

π

2

] }=[1，4]，
∴

-a+b=1 2a+b=4 b≤2

，解得

a=1 b=2

．
当a＜0时，2a+b≤f（x）≤-a+b，又{y|y=f(x)，x∈[0，

π

2

] }=[1，4]，
∴

-a+b=4 2a+b=1 b≤2

，解得

a=-1 b=3

（舍去）．
（2）由（1）可得函数f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3．
由2x+

π

3

=kπ，可得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，
故函数f（x）的对称轴方程为 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z．
（3）由函数y=log₂[f（x）-3]，可得f（x）＞3，即cos（2x+

π

3

）＞0，故有2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

5π

12

＜x＜kπ+

π

12

，k∈z，
故函数的定义域为（kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

），k∈z．
根据复合函数的单调性，本题即求函数f（x）在定义域内的单调增区间，结合余弦函数的图象可得，
f（x）在定义域内的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ-

π

6

），k∈z，
即 函数y=log₂[f（x）-3]的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ-

π

6

），k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，复合函数的单调性，余弦函数的单调性，属于中档题．